Сколько заказать к одному событию: модель newsvendor с проверяемым расчётом

Когда подходит такая постановка

Представьте торговлю сувенирами на однодневном мероприятии или закупку короткой сезонной коллекции. Количество выбирается заранее, спрос станет известен позже, а допоставка в нужное окно невозможна. Непроданное может иметь ограниченную стоимость после окончания периода.

MIT рассматривает newsvendor как модель одного решения при случайном спросе и компромиссе между излишком и нехваткой. В отличие от регулярного пополнения, последствия остатка оцениваются на конце выбранного периода. Источник: MIT, Stochastic-demand Inventory Models.

Модель не определяет пригодность товара, срок безопасного использования или обязательства перед покупателем. Для ограниченных по сроку товаров такие требования являются внешними условиями решения. Если остаток нельзя реализовать или использовать допустимым способом, нельзя приписывать ему удобную положительную стоимость.

Зафиксируйте допущения

В основном примере один товар, нулевой начальный запас, одна своевременная поставка и одна возможность заказа. Цена продажи постоянна; спрос не зависит от заказанного количества. При нехватке продажа теряется, последующего исполнения нет. Не учитываются замены, влияние дефицита на будущие отношения и дополнительные фиксированные расходы.

Можно заказать любое целое количество. Цель — максимизировать ожидаемый вклад в пределах указанных доходов и расходов, то есть среднее по заданным вероятностям. Руководитель может выбрать другой критерий риска, но его нужно назвать отдельно.

У модели два вида неопределённости: случайный будущий спрос и возможная ошибка самого распределения. Хорошая арифметика не доказывает, что выбранные вероятности верны. Их происхождение и чувствительность решения важнее лишних знаков после запятой.

Учебные данные

Все числа и вероятности вымышлены. Товар закупается по c = $6, продаётся в основном периоде по p = $12. За каждую непроданную единицу после периода можно получить v = $2 чистыми после расходов конечной реализации. Налогов и иных переменных затрат нет.

Предположим три возможных уровня спроса:

• 40 единиц с вероятностью 20%;
• 60 единиц с вероятностью 50%;
• 80 единиц с вероятностью 30%.

Вероятности в сумме дают 100%. Средний спрос равен 40 × 0,20 + 60 × 0,50 + 80 × 0,30 = 62 единицы. Далее проверим, стоит ли заказывать именно 62.

В рабочем наборе нужны товар, период, дата решения, распределение или сценарии, источник вероятностей, цена, переменные расходы, конечное чистое поступление, ограничения количества и ответственный за согласование. Продажи в дни отсутствия товара нельзя молча трактовать как полный наблюдённый спрос.

Посчитайте цену двух ошибок

Цена одной лишней единицы, overage cost: Co = c − v = 6 − 2 = $4. Закупка уже состоялась, но конечное поступление возвращает только часть её стоимости.

Цена недостающей единицы, underage cost, при потерянной продаже: Cu = p − c = 12 − 6 = $6. Это упущенный вклад, а не вся выручка $12: закупочные $6 тоже не были потрачены на отсутствующую единицу.

Критическая доля равна Cu/(Cu + Co) = 6/(6 + 4) = 0,60. Для дискретного спроса выбираем минимальное допустимое целое Q, для которого накопленная вероятность спроса не больше Q достигает этой доли. В примере F(40) = 0,20; F(60) = 0,70; F(80) = 1. Получаем Q = 60.

Экономический смысл: дополнительная единица полезна, если ожидаемая выгода от её продажи превышает ожидаемую потерю при остатке. Для 61-й единицы выгода равна 0,30 × 6 = $1,80, а риск излишка — 0,70 × 4 = $2,80. Ещё одна единица уменьшает ожидаемый результат на $1.

Проверьте решение прямым расчётом

Для количества Q и реализовавшегося спроса D вклад модели равен:

12 × min(Q, D) + 2 × max(Q − D, 0) − 6 × Q.

При Q = 60 и спросе 40 продадутся 40, останутся 20: 480 + 40 − 360 = $160. При спросе 60 или 80 продадутся 60, остатка не будет: 720 − 360 = $360.

Ожидаемый вклад при Q = 60: 0,20 × 160 + 0,50 × 360 + 0,30 × 360 = $320.

Сравним другие количества:

• Q = 40: во всех сценариях продаются 40; ожидаемый вклад $240.
• Q = 62: вклады по трём сценариям $152, $352 и $372; ожидаемый результат $318.
• Q = 80: вклады $80, $280 и $480; ожидаемый результат $300.

Средний прогноз 62 оказался хуже 60 на $2 в рамках заданной модели. Это небольшая разница, которую нельзя выдавать за гарантированный эффект в реальном бизнесе. Но она показывает, почему среднее распределения и экономически выбранное количество — разные решения.

MIT также рассматривает вероятностные сценарии с конечной стоимостью и подчёркивает, что оптимальный объём не обязан совпадать со средним спросом. Источник: Introduction to stochastic inventory models.

Дефицит после правильного решения возможен

При Q = 60 модель допускает нехватку, если спрос равен 80. Вероятность этого сценария — 30%, величина нехватки в нём — 20. Ожидаемое недопоставленное количество составляет 20 × 0,30 = 6, ожидаемый остаток — 20 × 0,20 = 4.

Проверка через цену ошибок: 6 × $6 + 4 × $4 = $52 ожидаемых потерь относительно идеального знания спроса. При полном знании ожидаемый вклад был бы (12 − 6) × 62 = $372; 372 − 52 = $320, как в прямом расчёте.

Критическая доля 60% здесь не является обещанием обслужить 60% клиентов. Выбранные 60 единиц полностью покрывают спрос в 70% сценариев, поскольку распределение дискретно. Показатели исполнения и требования к сервису следует проверять отдельно.

Изменение одного условия может сдвинуть закупку

Допустим, подтверждённое чистое поступление от остатка увеличилось с $2 до $5, остальные условия прежние. Co становится $1, критическая доля — 6/7 ≈ 85,71%. Теперь F(60) = 70% недостаточно, и модель выбирает 80.

Прямая проверка даёт ожидаемый вклад $332 для 60 и $354 для 80. Результат меняется потому, что излишек стал менее дорогим. Нельзя использовать такой сценарий, пока канал реализации остатка, его объём и чистая цена не подтверждены.

Если недостающее можно гарантированно докупить вовремя, цена нехватки также меняется: вместо утраченной маржи может учитываться дополнительная стоимость срочной единицы. Ограничение бюджета, упаковка, MOQ или общая мощность нескольких товаров требуют проверки допустимых вариантов; критический квантиль сам эти ограничения не учитывает.

Как использовать модель в работе

Сохраните исходный прогноз до события и не меняйте вероятности задним числом ради объяснения результата. После события записывайте продажи, остаток, периоды отсутствия товара и фактическое чистое поступление от конечного остатка. Одна удачная или неудачная реализация не доказывает качество вероятностной модели.

Повторяющиеся события позволяют проверять распределение и последствия решений на сопоставимых периодах. Изменившиеся цена, состав аудитории или условия возврата требуют новой версии. При короткой истории разумнее показать несколько сценариев чувствительности, чем назначать вероятности с неподтверждённой точностью.

Приёмочный чек-лист

• Определена одна закупочная возможность и конец периода.
• Вероятности неотрицательны и в сумме дают единицу.
• Cu считается по вкладу, Co — с чистой конечной стоимостью.
• Для примера получаются среднее 62, критическая доля 0,60 и Q = 60.
• Прямые результаты $240, $320, $318 и $300 воспроизводятся.
• Дефицит и остаток не скрываются за средним вкладом.
• Изменение конечной цены до $5 даёт проверяемый новый выбор 80.
• Ограничения, ответственность и разрешение на заказ остаются отдельными.

Используйте расчёт при обсуждении закупок и склада SABSUS. Поддержку распределений, перебора сценариев и сохранения версии решения подтвердите отдельно; статья не заявляет наличие готового newsvendor-калькулятора.

Частые вопросы

Нужно всегда заказывать средний прогноз?

Нет. Выбор зависит от относительной цены излишка и нехватки и формы распределения.

Оптимальный заказ гарантирует отсутствие остатка?

Нет. Он выбирает компромисс по ожидаемому результату. В отдельных сценариях возможны и остаток, и дефицит.

Можно придумать вероятности для трёх сценариев?

Не выдавайте условные предпосылки за статистику. Укажите источник, ограничение данных и чувствительность решения к другим вероятностям.

Источники

Проверено 9 октября 2026 года: MIT — Stochastic-demand Inventory Models, MIT — stochastic inventory models and supply contracts. Вероятности и числа статьи учебные.