Два дефицитных ресурса: какой состав выпуска выбрать и что расширять

Сначала сформулируйте совместное решение

Есть два изделия и два ограниченных ресурса. Первое изделие бережнее расходует один ресурс, второе — другой. Руководителю нужно выбрать допустимое сочетание выпуска, а затем понять, какое из двух предложений дополнительной мощности даёт лучший результат после отдельной платы за доступ.

При единственном ограничении полезен вклад на минуту узкого места. Но два независимых рейтинга могут дать разные ответы. В этой статье проверим весь небольшой набор сочетаний и докажем лучший результат, не выбирая удобный коэффициент задним числом.

ACCA описывает линейную постановку через переменные выпуска, целевую функцию и ограничения ресурсов. Там же рассматривается, как изменение одного ограничения влияет на ценность дополнительного ресурса. ACCA: Linear programming.

Ниже — оригинальный учебный пример. Он выбирает объём по суммарным бюджетам ресурсов. Точный порядок операций, календарь и техническая возможность выполнить их к сроку проверяются отдельно; допустимость по сумме ресурсов ещё не доказывает существование подробного расписания.

Зафиксируйте вклад, спрос и границы модели

Все суммы и нормы вымышлены. Рассматривается один период; неизвестного спроса нет. Изделия продаются в пределах указанных потолков. Выпуск целочисленный, минимальная партия равна одной штуке, начального готового запаса нет. Материалы, качество, логистика и прочие ресурсы предполагаются обеспеченными.

Вклад — цена продажи минус явно перечисленные изменяющиеся затраты на эту единицу. Для X он равен 50 денежных единиц, для Y — 60. В них уже учтены обычные переменные затраты; неизменные расходы периода одинаковы для вариантов. Поэтому больший вклад улучшает сравниваемый результат, но сам по себе не равен чистой прибыли.

• X использует две единицы ресурса A и одну единицу ресурса B. Продать можно не более 50 X.
• Y использует одну единицу A и три единицы B. Продать можно не более 30 Y.
• На период доступны 100 единиц A и 90 единиц B.

Единицы каждого ресурса однородны внутри его ограничения. Это могут быть два отдельно измеряемых бюджета доступной обработки. Не складывайте часы разных участков в один общий ресурс: такая сумма разрешила бы заменить недостающий час B свободным часом A без технологического основания.

Запишите все условия рядом с целью

Обозначим количество изделий малыми буквами x и y. Нужно максимизировать 50x + 60y. Допустимый план одновременно выполняет условия: 2x + y не больше 100; x + 3y не больше 90; x от 0 до 50; y от 0 до 30. Оба количества целые.

Уже принятые обязательства при наличии добавляются как самостоятельные ограничения. В этом примере обязательного минимального выпуска нет. Нельзя сначала найти выгодный свободный состав, а потом выдать его за разрешение отменить подтверждённый заказ.

Для маленькой задачи достаточно прозрачного перебора: 51 возможное значение x и 31 значение y дают 1 581 пару. Отбрасываем каждую пару, нарушающую хотя бы одно условие. Среди оставшихся сравниваем вклад. Такой расчёт сохраняет все исходные строки и легко повторяется при изменении лимита.

Почему два рейтинга дают слабые планы

Если ранжировать только по A, у X получается 50 / 2 = 25 вклада на единицу A, у Y — 60 / 1 = 60. Последовательный выбор Y приводит к 30 Y: они используют 30 A и все 90 B. Ресурс B закончился, X уже добавить нельзя. Вклад равен 1 800, а 70 A остаются свободными.

Рейтинг только по B даёт X = 50 / 1 = 50, Y = 60 / 3 = 20. Выпуск 50 X занимает все 100 A и 50 B. Вклад равен 2 500, свободны 40 B. Оба плана допустимы, но ни один не является лучшим совместным решением.

Это не ошибка деления. Каждый рейтинг игнорирует второй дефицитный ресурс. Свободный остаток одного участка не исправляет нарушение или полное использование другого. Процент общей занятости тоже не заменяет выбранную денежную цель.

Лучший состав и проверка его верхней границы

Перебор даёт единственный лучший целочисленный состав: 42 X и 16 Y. Ресурс A используется как 2 × 42 + 16 = 100. Ресурс B — как 42 + 3 × 16 = 90. Потолки спроса соблюдены. Вклад составляет 42 × 50 + 16 × 60 = 3 060.

Можно отдельно доказать, что более высокий результат при исходных лимитах невозможен. Для любого сочетания выполняется точное равенство: 50x + 60y = 18 × (2x + y) + 14 × (x + 3y). Коэффициенты 18 и 14 положительны, поэтому при ограничениях A и B правая часть не превышает 18 × 100 + 14 × 90 = 3 060.

Наш план достигает этой границы. Значит, это не просто лучший из нескольких понравившихся вариантов. Он действительно оптимален в заданной модели. Дополнительные ограничения спроса не ослабляют доказательство: найденная точка им тоже соответствует.

Числа 18 и 14 в этом доказательстве не являются рыночными тарифами. Они помогают оценить границу модели; нельзя автоматически выставить по ним цену каждой дополнительной единицы мощности, особенно при целочисленном выпуске.

Сравните два предложения дополнительного ресурса

Есть два альтернативных, взаимно исключающих предложения на тот же период. Первое добавляет десять единиц A за отдельную плату 150. Второе добавляет десять единиц B за отдельную плату 100. Это условные премии за дополнительный доступ сверх обычных переменных затрат, уже включённых во вклад изделий.

При A = 110 и B = 90 лучший состав — 48 X и 14 Y. Проверки ресурсов: 96 + 14 = 110; 48 + 42 = 90. Вклад равен 2 400 + 840 = 3 240. Прирост к исходным 3 060 составляет 180, а после платы 150 остаётся 30.

При A = 100 и B = 100 лучший состав — 40 X и 20 Y. Проверки: 80 + 20 = 100; 40 + 60 = 100. Вклад равен 2 000 + 1 200 = 3 200. Прирост составляет 140, после платы 100 — 40.

У предложения A больше валовой прирост, но у предложения B больше улучшение после своей платы: 40 против 30. В рамках этих условий выбирается B. Совместная покупка обоих предложений не входит в сравнение; если она разрешена, её нужно рассчитать отдельным вариантом.

До реального решения также проверяют пригодность ресурса, гарантированную дату, связанные расходы и полномочия. Расчёт не размещает заказ и не подтверждает, что внешний поставщик выполнит обещание.

Не переносите локальную оценку на любое расширение

Если добавить только одну единицу A, лимиты станут 101 и 90. Для дробного выпуска верхняя граница увеличилась бы на 18, но в нашем целочисленном наборе лучшим остаётся 42 X + 16 Y с вкладом 3 060. Одного дополнительного шага не хватило для выгодной перестройки состава.

Если вместо десяти добавить двадцать A, при прежних 90 B и потолке 50 X лучший целочисленный состав равен 50 X + 13 Y. Он даёт 3 280: прирост 220, а не 20 × 18 = 360. Используются 113 A и 89 B; остатки сами по себе не разрешают ещё одно целое изделие.

Следовательно, доплата за пакет ресурса сравнивается с пересчитанным полезным результатом пакета. MIT в учебных задачах отдельно рассматривает ограничения, свободный остаток ресурса и допустимые интервалы чувствительности. MIT OCW: Optimization Methods, Problem Set 4.

Сохраните данные для повторной проверки

Нужны нормы каждого ресурса на пригодную единицу, версия вклада, доступность по периоду, потолки спроса и обязательные минимумы. Отдельно храните кратность выпуска, переналадки и другие условия, если они существуют. В таком случае простой пример потребуется расширить, а не применять без изменений.

У каждого варианта сохраняйте количества, потребление по каждому ресурсу, остатки, вклад до дополнительной платы и результат после неё. Запишите, какие предложения совместимы, и кто подтвердил исходные условия. Финальный выбор должен воспроизводиться из этих данных.

Для SABSUS обсудите исходные данные в производстве, BOM и отчётах. Поддержку расчёта допустимых сочетаний и оптимизации подтвердите отдельно. Наличие производственного модуля не доказывает наличие такого решателя.

Приёмочный чек-лист

1. Оба ресурсных ограничения проверяются для каждой пары одновременно.
2. Перебор содержит 1 581 исходную пару целых количеств.
3. Два одноресурсных рейтинга дают 1 800 и 2 500, а не лучший результат.
4. План 42 X + 16 Y использует 100 A и 90 B и достигает границы 3 060.
5. Дополнительные десять A дают прирост 180 до платы и 30 после неё.
6. Дополнительные десять B дают прирост 140 до платы и 40 после неё.
7. Обычные переменные затраты не вычитаются второй раз как премия за доступ.
8. Один дополнительный A не выдаётся за гарантированные 18 результата.
9. Изменение спроса, обязательств или календаря вызывает отдельную проверку плана.

Короткие ответы

Достаточно выбрать изделие с большей маржой на час?

Только один коэффициент не учитывает несколько одновременно ограниченных ресурсов. Нужен совместно допустимый состав по всем ограничениям.

Если оба участка полностью заняты, план лучший?

Полная занятость не является доказательством. Здесь оптимальность подтверждена верхней границей и планом, который её достигает.

Такой расчёт уже является расписанием смены?

Нет. Это выбор количества по суммарным ресурсным бюджетам. Даты, последовательность, непрерывность операций и совместную доступность исполнителей проверяют отдельно.