Cp и Cpk: почему малый разброс ещё не означает попадание в допуск

Какое решение принимает владелец

В небольшой мастерской повторяется возврат обычной декоративной детали: длина не подходит к согласованному заказу. Отчёт показывает «процесс стабилен», но это не отвечает на вопрос, выполняется ли требование к размеру. Для решения нужно связать три вещи: утверждённый допуск, наблюдаемое поведение процесса и пригодность измерения.

Контрольные пределы получают из данных процесса; границы допуска выражают требование к изделию. Первые помогают исследовать стабильность, вторые задают, какой результат нужен. Minitab: различие specification и control limits.

Здесь рассматривается одна непрерывная характеристика обычного непродовольственного изделия. Допуски и технические действия утверждает ответственный специалист. Расчёт не заменяет приёмку партии, сертификацию, проверку безопасности или разрешение отгрузки.

Что означают Cp и Cpk

Для выбранной модели обозначим нижнюю границу LSL, верхнюю USL, среднее μ и стандартное отклонение σ. Cp = (USL − LSL) / (6σ) сравнивает ширину допуска с разбросом. Cpk = min[(USL − μ) / (3σ); (μ − LSL) / (3σ)] дополнительно учитывает расстояние среднего до ближайшей границы.

NIST приводит эти определения для стабильного процесса с нормальным распределением. На реальных данных параметры оценивают; оценки имеют неопределённость. Рассчитанное число само по себе не подтверждает применимость модели. NIST: Process Capability.

Практическое чтение пары показателей: если Cp заметно выше Cpk, в выбранной модели часть запаса по допуску теряется из-за смещения. Если оба малы, одного центрирования может не хватить. Это направление анализа, а не автоматическая команда менять оборудование.

Учебный пример: одинаковый разброс, разный результат

Все числа вымышлены. Зададим длину декоративной вставки с допуском от 99 до 101 мм и согласованным целевым размером 100 мм. Для арифметики считаем параметры устойчивой нормальной модели известными: μ = 100,5 мм, σ = 0,2 мм. Это не выборка из нескольких деталей и не доказательство стабильности реального производства.

Cp = (101 − 99) / (6 × 0,2) = 2 / 1,2 ≈ 1,67. До верхней границы среднему остаётся 0,5 мм: верхний индекс равен 0,5 / 0,6 ≈ 0,83. До нижней границы — 1,5 мм: нижний индекс равен 1,5 / 0,6 = 2,50. Поэтому Cpk ≈ 0,83.

Другая условная линия имеет тот же σ = 0,2 мм, но μ = 100 мм. Её Cp по-прежнему примерно 1,67, а Cpk = min(1 / 0,6; 1 / 0,6) ≈ 1,67. Изменилось положение распределения, а не его ширина. Один столбец Cp сделал бы эти линии неразличимыми.

Ни один из полученных индексов не является долей годных изделий. Нельзя прочитать 0,83 как «83% годности». Фактический результат контроля конкретных единиц и модельная характеристика процесса — разные сведения.

Сравните два возможных изменения

Рассмотрим только заранее технически разрешённые сценарии. Вариант А возвращает среднее к 100 мм при прежнем σ = 0,2. Тогда оба индекса около 1,67. Вариант Б сохраняет μ = 100,5, но уменьшает σ до 0,1. Теперь Cp ≈ 3,33, а Cpk = min(0,5 / 0,3; 1,5 / 0,3) ≈ 1,67.

Одинаковый Cpk не делает варианты одинаковыми. Во втором сохраняется отклонение от целевого размера. У вариантов могут различаться стоимость, срок, устойчивость настройки и требования к последующей обработке. Решение должно учитывать эти условия, а не только выбрать больший Cp.

Если технический специалист утверждает третий вариант μ = 100 мм и σ = 0,1, оба индекса станут примерно 3,33. Это арифметический результат заданных параметров, а не обещание, что перенастройка действительно даст такие параметры. После изменения требуется новая подтверждённая серия наблюдений.

Не расширяйте допуск с 99–101 до 98–102 только ради красивого показателя. Математически Cp вырастет, но изменится требование к изделию. Такое изменение должно иметь самостоятельное основание и согласование.

Когда расчёт нужно остановить или пересмотреть

Если исходная история смешивает две машины, разные материалы или настройки до и после изменения, одно среднее может описывать несуществующее состояние. Сначала выясните, какую совокупность требуется оценивать. Разделение данных тоже нельзя подбирать задним числом только ради приемлемого результата.

Сохраните временной порядок измерений. Спокойная гистограмма не исключает дрейф, а все точки внутри выбранных контрольных пределов не доказывают отсутствие закономерностей. Руководство по p-карте отдельно объясняет логику сигнала для доли несоответствующих изделий; оно не заменяет выбор метода для измеряемого размера.

При неизвестной или неподходящей форме распределения не превращайте формулу в прогноз процента брака. Для одностороннего требования, например только верхнего предела, не придумывайте нижнюю границу из нуля. Нужна соответствующая односторонняя постановка. NIST рассматривает такие индексы отдельно.

При σ = 0 деление в этих формулах невозможно. Это повод проверить число наблюдений, округление и разрешение прибора. Запись «бесконечная способность» способна скрыть измеритель, который просто не различает отклонения.

Измерение может создать ложный вывод

Перед сравнением линий проверьте единицы, прибор, метод установки детали, оператора и повторные измерения. Если один отчёт округляет до миллиметра, а другой хранит сотые доли, их разбросы не сопоставимы без разбора. Повторное измерение той же детали не является новой произведённой деталью.

NIST выделяет в изучении измерительной системы повторяемость, воспроизводимость, стабильность, смещение и разрешение. Это отдельная работа с источниками погрешности. NIST: Gauge R&R studies.

Для нашего примера постоянная добавка прибора +0,5 мм могла бы создать наблюдаемое среднее 100,5 вместо 100. Это лишь учебная альтернативная гипотеза. Её надо проверять по метрологически обоснованной процедуре; вычитание 0,5 из отчёта без основания не исправляет измерение.

Какие данные передать в отчёт

Сохраните идентификатор изделия, характеристику, единицу измерения, исходное значение, время, оборудование, настройку и прибор. Рядом с расчётом нужны версия спецификации, период, способ отбора и исключения. Укажите метод оценки σ: одно и то же обозначение в разных отчётах не гарантирует одинаковый расчёт.

Для сравнения до и после отделяйте эффект изменения процесса от смены прибора, отбора и допуска. Показывайте размер выборки и неопределённость оценки, если она рассчитана подходящим методом. Не переносите договорной порог одного клиента на другой продукт как универсальный норматив.

Для SABSUS обсудите связи с производственным выпуском и исходными событиями аналитики. Хранение измерений, оценку σ, расчёт Cp/Cpk и контроль версий спецификации нужно подтвердить на конкретной конфигурации. Наличие встроенного статистического анализа здесь не предполагается.

Приёмочные проверки расчёта

1. При μ = 100,5 и σ = 0,2 получаются Cp ≈ 1,67 и Cpk ≈ 0,83.
2. При μ = 100 и прежнем σ оба индекса примерно 1,67.
3. При μ = 100,5 и σ = 0,1 получаются Cp ≈ 3,33 и Cpk ≈ 1,67.
4. Если среднее стало 101,2 при σ = 0,2, Cpk = min(−0,2 / 0,6; 2,2 / 0,6) ≈ −0,33. Отрицательное значение не заменяется нулём незаметно.
5. Нулевая оценка σ, неизвестная единица или отсутствие нужной границы дают явное ограничение расчёта.
6. Смена допуска сохраняет новую версию и основание; прежний показатель остаётся воспроизводимым.
7. Индекс не меняет статус приёмки или отгрузки конкретной партии.

Короткие ответы и источники

Стабильный процесс обязательно соответствует допуску?

Нет. Он может стабильно воспроизводить неудобное среднее или слишком большой разброс. Стабильность и выполнение требования проверяют отдельно.

Можно выбрать поставщика по одному Cpk?

Сначала сопоставьте характеристику, допуск, измерения, период и способ оценки. Числа с разными основаниями могут выглядеть сравнимыми, оставаясь разными по смыслу.

Где описаны методы?

• NIST: Process Capability — определения, предпосылки и неопределённость.
• Minitab: Specification limits — назначение границ допуска и контроля.
• NIST: Gauge R&R — исследование измерительной системы.

Источники проверены 11 октября 2026 года. Параметры, сценарии и приёмочные тесты вымышлены для объяснения расчёта; это не результаты клиента.